三角形ＡＢＣ是圆Ｏ内接正三角形，Ｄ是弧ＡＣ上任意一点，过Ｃ作ＣＥ／／ＤＡ，交圆Ｏ于点Ｅ，ＢＥ，ＤＡ的延长线相交于点Ｆ，连接ＢＤ，交ＡＣ于点Ｇ．求证：１：三角形ＢＤＦ是正三角形．２：ＢＣ的平方＝ＢＧ乘ＢＦ
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因为A、E、B、C 四点共圆，所以∠BEC=∠BAC=60°由于EC∥FD, 所以∠F=∠BEC=60°同理，∠D=∠BCA=60°所以△FBD是正三角形因为∠FBD=∠ABC=60°,所以∠FBA=∠GBC由于∠F=∠BCG=60°,所以△FBA∽△CBG, BF:BC=BA:BG,即 BC·BA=BG·BF因为BA=BC所以BC的平方=BG·BF
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假设BD交CE于点H,因为CE//DF,所以:角BDA=角BHE而角BHE=角HBC+角HCB(外角),而角ACE=角DBC(圆周角)相等所以角ADB=角EHB=角HBC+角HCB=角ACE+角HCB=60度因为:角ABE=角DBC 所以:角FBD=角ABE+角ABD=角ABD+角DBC=60度在一个三角形中,二个角都等于60度,所以这个三角形,即三角形FBD为等边三角形.2)主要是要我们求证:BC:BH=BF:BC由前一题得知:角DBC=角ABE而角BFD=角BEC而角BEC=角BAC=角ACB所以三角形 BGC与三角形BAF相似,所以上面的比例关系成立所以得到证明