求证：用平面截长方体一个角（即截过一个顶点的三条棱）所得界面三角形是锐角三角形。希望给出详细步骤。最好把图也画出来，如果这里上下标看不出来可以发一份到我的邮箱
热心网友
不画图可以吗设正方体ABCD-A1B1C1D1,以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AA1为z轴建立空间坐标系，设平面切角A,平面交AD上一点(a,0,0),交AB上一点G(0,b,0),交AA1上一点E(0,0,c)，则向量GF=(a,-b,0),向量GE=(0,-b,c),向量EF=(a,0,-c),向量FE=(-a,0,c)所以cos∠EGF=GE·GF/|GE|·|GF|=b^2/[√(a^2+b^2)×√(b^2+c^2)]0所以∠EGF为锐角，同理cos∠GFE=GF·EF/|GF|·|EF|=a^2/[√(a^2+c^2)×√(a^2+b^2)]0所以∠GFE为锐角cos∠GEF=GE·FE/|GE|·|FE|=c^2/[√(b^2+c^2)×√(a^2+c^2)]0所以∠GEF为锐角综上得:△EFG为锐角三角形设此向量为c(x,y,z),则因为它与a,b垂直，所以有:ac=0,即y+2z=0。。。。。。bc=0,即-x+y=0。。。。。。所以x=y=-2z,所以c=(-2z,-2z,z),又因为|c|=3,所以4z^2+4z^2+z^2=3^2,即9z^2=9,所以z=±1,所以此向量为(-2,-2,1)或(2,2,-1)。
热心网友
Yoshio的解法有点繁。本题实际上是：在长方体交于同一顶点是的三条棱上各取一个点，证明以这三个点为顶点的三角形是锐角三角形。将长方体的一个顶点置于原点，交于原点的三条棱分别在x、y、z的正半轴上，在这三条棱上各取一点，坐标分别为：P(x,0,0),Q(0,y,0),R(0,0,z)，其中x,y,z0向量PQ={-x,y,0},PR={-x,0,z}PQ·PR=(-x)^20 == 角RPQ是锐角。同理可证，角PQR，角RQP也都是锐角，三角形PQR是锐角三角形。后面那个题目只要用向量积，因为行列式这里不好写，就直接给出结果：a×b={-2,-2,1}——这个向量是与a、b都垂直的向量，且|a×b|=√[(-2)^2+(-2)^2+1^2]=3满足要求，因为这个向量的负向量也是满足要求的，所以所求向量为：±(a×b)，即{-2,-2,1}与{2,2,-1}。
热心网友
本题,其实不必用向量解,直接用余弦定理证明所截得的三角形中三个内角的余弦值均大于0即可.