若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1，求证√a＋√b＋√c≤√3
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若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1，求证√a＋√b＋√c≤√3证明:法一:√a＋√b＋√c=√(a×1/3×3)＋√(b×1/3×3)＋√(c×1/3×3)=√3[√(a×1/3)＋√(b×1/3)＋√(c×1/3)]≤√3[(a+1/3)/2＋(b+1/3)/2＋(c+1/3)/2]=√3[(a+b+c+1)/2]=√3法二:(√a＋√b＋√c)^2＝a＋b＋c+2√ab＋2√bc＋2√ca＝1＋2√ab＋2√bc＋2√ca≤1＋[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝1＋2[a＋b＋c]＝3∴√a＋√b＋√c≤√3
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若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1，求证√a＋√b＋√c≤√3证：∵a＋b＋c＝1(√a＋√b＋√c)^2＝a＋b＋c+2√ab＋2√bc＋2√ca＝1＋2√ab＋2√bc＋2√ca≤1＋[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝1＋2[a＋b＋c]＝3∴√a＋√b＋√c≤√3
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若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1，求证√a＋√b＋√c≤√3由柯西不等式(m+n+p)(s+t+q)≥[√(ms)+√(nt)+√(pq)]^2 得：(1+1+1)(a+b+c)≥(√a＋√b＋√c)^2所以√a＋√b＋√c≤√3下面把三元柯西不等式证明一下： 因为(√m*x+√s)^2≥0 、(√n*x+√t)^2≥0 、(√p*x+√q)^2≥0 所以 (m+n+p)*x^2 + 2*[√(ms)+√(nt)+√(pq)]*x + (s+t+q)≥0 因为 (m+n+p)≥0 ，所以△≤0恒成立 即(m+n+p)(s+t+q)≥[√(ms)+√(nt)+√(pq)]^2