正方形中ABCD，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1/4AD，EG垂直于CF，求证： （1）CE平分角 BCG （2）1/4AB^(AB的平方）=CG*FG
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证明:设AF＝X。 则AE＝BE＝2X。 BD＝CD＝4X,。 FD＝3X 在直角三角形△AFE。 △EBC。 △CDF中,由勾股定理可得 FE＝X√5。 EC＝2X√5。 FC＝5X EF^＋EC^＝25X^＝FC^ 故△EFC是直角三角形 由△EFC的面积等于FE×EC÷2,。也等于FC×EG÷2 FE×EC÷2＝FC×EG÷2 可得EG＝2X。 也就得EG＝EB 又EG⊥CF。 EB⊥BC 可得CE平分角 BCG (到角两边距离相等的点在这个角的平 分线上)(2)易证△EFG∽△CEG。 可得FG:EG＝EG:CG 得CG×FG＝EG×EG＝4X^ 而1/4AB^＝4X^ 所以有1/4AB^=CG×FG。
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证明:连结FE并延长FE交CB的延长线于H因E为AB中点所以AE=BE又∠EAF=∠EBH=90°∠AEF=∠BEH所以△EAF≌△EBH所以AF=BH,FE=FH说以CH=BC＋1/4AB=5/4AB又CF^2=CD^2＋FD^2=AB^2＋9/16AB^2所以CF=5/4AB即CH=CF,又CE=CE所以△ECF≌△ECH所以∠FCE=∠HCE即CE平分∠BCG(2)因EG⊥CF,EB⊥CB所以EG=EB=1/2AB所以△EGF≌△EBH所以FG=BH=1/4AB所以CG=5/4AB－1/4AB=AB所以CG×FG=1/4AB^2