求教一道向量题,如图,在Rt△ABC中,已知∠BAC=90度,若长为2a的线段PQ以点A为中心,问向量PQ与向量BC的夹角取何值时向量BP*向量CQ的值最大?并求出这个最大值。谢谢。

热心网友

解:如图,以A为原点,PQ指向Q点设a两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设动点P(x,y),则Q(-x,-y)∴向量BP=(x-c,y),向量CQ=(-x,-y-b),向量BC=(-c,b),向量PQ=(-2x,-2y)∴向量BP·向量CQ=-(x^2+y^2)+cx-by∵cosq=[(向量PQ*向量BC)/(Ι向量PQΙ*Ι 向量BCΙ)]=(cx-by)/a^2∴cx-by=a^2cos.q∴向量BP·向量CQ=-a^2+a^2cosq∴当q =0时,向量BP·向量CQ最大,最大值为0.