在∠ＭＰＮ的边ＰＭ上有点Ａ与Ｄ，在边ＰＮ上有点Ｃ与Ｂ，ＡＢ与ＣＤ相交于Ｆ．求证：（１）若ＰＦ是∠ＭＰＮ的角平分线，则１/ＰＡ+１/ＰＢ＝１/ＰＣ+１/ＰＤ． （２）若１/ＰＡ+１/ＰＢ＝１/ＰＣ+１/ＰＤ，则ＰＦ是∠ＭＰＮ的角平分线
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这好象是一道竞赛题。我得用竞赛题的有关解法：(1)。△PAB的三边被直线CD所截于C、F、D由梅特劳斯定理得:(AD/PD)*(BC/PC)*(FB/FA)=1因PF平分∠APB，所以由角平分定理得：FB/FA = PB/PA 由上两式得：AD/PA*PD = BC/PB*PC 即（PD-PA)/PA*PD = (PB-PC)/PB*PC 所以 1/PA - 1/PD = 1/PC - 1/PB ,所以1/PA + 1/PB = 1/PC +1/PD(2)。因为1/PA + 1/PB = 1/PC +1/PD所以1/PA - 1/PD = 1/PC - 1/PB 所以（PD-PA)/PA*PD = (PB-PC)/PB*PC ，即 AD/PA*PD = BC/PB*PC ①因为△PAB的三边被直线CD所截于C、F、D由梅特劳斯定理得:(AD/PD)*(BC/PC)*(FB/FA)=1 ②由①②得:FB/FA = PB/PA 所以PF是∠MNP的平分线。（角平分线定理的逆定理）。
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1)证明:如图作FM⊥PA,FN⊥PB,BK⊥PA,DQ⊥PA。∵PF为∠APB的角分线。∴FM=FN=d。Rt△PBK∽Rt△PDQ。∴PB:PD=BK:DQ△ABC的面积为Ｓ1,∴2Ｓ1=PA×BK=PA×d+PB×d,即:BK=(PA+PB)×d/PA同理可得:DQ=(PC+PD)×d/PC∵PB:PD=BK:DQ。∴PB:PD=[(PA+PB)×d/PA]:[(PC+PD)×d/PC]整理可得:1/PA+1/PB=1/PC+1/PD2)证明:如图作FM⊥PA,FN⊥PB,BK⊥PA,DQ⊥PA。设FM=m,FN=n,∵PB:PD=BK:DQ(前面已证)。∴BK:PB=DQ:PD=t。即:BK=tPB,DQ=tPD。∵2Ｓ1=PA×BK=PA×m+PB×n,又BK=tPB∴PA×tPB=PA×m+PB×n,∴t=m/PB+n/PA同理可得:t=m/PD+n/PC∵t=m/PB+n/PA=m/PD+n/PC,∴m(1/PB-1/PD)=n(1/PC-1/PA)∵1/PA+1/PB=1/PC+1/PD∴1/PB-1/PD=1/PC-1/PA∴m(1/PB-1/PD)=n(1/PC-1/PA)=n(1/PB-1/PD)∴m=n,即:FM=FN,∴PF为∠APB的角分线。