集合A={(X,Y)/X^+MX-Y+2=0},集合B={(X,Y)/X-Y+1=0,且0≤X≥2},又A∩B≠Φ，求实数M的取值范围。
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解答： 集合B相当于 Y=X+1 直线上对应的任一点。且 0≤X≤2集合A相当于抛物线 Y = X^2 + MX +2 上点任一点。A∩B≠Φ 说明 直线与抛物线有交点。也就是 Y= X+1 代入 Y = X^2 + MX +2 中后 一元二次方程在 0≤X≤2 时 有根。一元二次方程为 X^2 + (M-1)X + 1 =0有根时 要求 ∧=(M-1)^2 - 4 ≥ 0 即 M≥3 或者 M ≤ -1同时要求 根在 0 到 2 范围之内，也就是 0 ≤ -（M-1) + [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 或者 0 ≤ -（M-1) - [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 下面先解不等式 0 ≤ -（M-1) + [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 此不等式先化为不等式组，然后求其中每个不等式的解集，再取它们的交集。[(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤ 4 +（M-1) = M+3且 [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≥ M-1对于 [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤ M+3 ，若 M+3 ≤ 0 不等式恒不成立。若 M+3≥0，那么两边平方 得到(M-1)^2 - 4 ≤ (M+3)^2M^2 -2M -3 ≤ M^2 +6M +9M ≥ -3/2因此 -（M-1) + [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 的解为 M ≥ -3/2对于 [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≥ M-1若 M-1 ≤ 0 即 M ≤ 1，不等式恒成立。若 M-1 ≥ 0, 那么两边平方 得到(M-1)^2 - 4 ≥ (M-1)^2显然不等式恒不成立。因此 0 ≤ -（M-1) + [(M-1)^2 - 4]^(1/2) 的解为 M ≤ 1所以 0 ≤ -（M-1) + [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 的解为 M ≥ -3/2 和 M≤1 的交集。即 -3/2 ≤ M ≤ 1同时为保证 ∧≥0，曾已经得到 M≥3 或者 M ≤ -1因此 0 ≤ -（M-1) + [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 的解为-3/2 ≤ M ≤ -1下面再解不等式 0 ≤ -（M-1) - [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 化为不等式组[(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≥ -4-(M-1) = -(M+3)且 [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤ -(M-1)对于 [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≥ -(M+3)若 M+3 ≥ 0 即 M≥-3 时，不等式恒成立。即 M≥-3是不等式的解。若 M+3 ≤ 0 即 M ≤ -3时，两边平方 得到(M-1)^2 - 4 ≥ (M+3)^2M^2 -2M -3 ≥ M^2 +6M +9 M ≤ -3/2因做平方时 已经限定 M ≤ -3，所以不等式在 M+3 ≤ 0时的解为 M ≤ -3。再联合M+3 ≥ 0 时的解 M≥-3，则 -（M-1) - [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 的解为 M∈R。对于 [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤ -(M-1)若 -(M-1) 1 ，那么不等式无解。若 M ≤ -1 ，那么两边平方 得到(M-1)^2 - 4 ≤ (M-1)^2这个不等式恒成立。因此 0 ≤ -（M-1) - [(M-1)^2 - 4]^(1/2) 的解为 M ≤ -1。再与 -（M-1) - [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 的解取交集。得到 M ≤ -1。最后再与 保证 ∧=(M-1)^2 - 4 ≥ 0 的限定条件 M≥3 或者 M ≤ -1 取交集 得到 不等式 0 ≤ -（M-1) - [(M-1)^2 - 4]^(1/2) ≤4 的解为M ≤ -1。至此达到结论 -3/2 ≤ M ≤ -1 时，直线 Y=X+1 在 0≤X≤2 区间 与 Y = X^2 + MX +2 有2个交点。而在 M < -3/2 时有一个交点。只要一个交点就已满足题意了。因此 M 的取值范围 为 M ≤ -1 。------------补充：本题计算过程很烦琐，但是没有简便算法。或许我的计算结果错误，但是思路是没问题的。在解不等式时，请注意，如果不等式一端为 开方形式，再对不等式两端平方之前，要先就另一端 大于0 和小于0 两种情况分别讨论。大于0时候，才可以同时平方。如果另一端小于0，那么可以直接导出不等式恒成立或不成立。。