1~证明若0<a<1,0<b<1,0<c<1,则(1-a)b,(1-b)c,(1-a)c不可能都大于1/42~求证：1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2<2-1/n(n属于N且n>=2)
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1:假设都大于1/4,即(1-a)b1/4,(1-b)c1/4,(1-a)c1/4则(1-a)b(1-b)c(1-c)a(1/4)^3。。。。。。。而因为(1-a)a≤{[(1-a)+a]/2}^2=1/4,(相当于xy≤[(x+y)/2]^2)(1-b)b≤{[(1-b)+b]/2}^2=1/4,(1-c)c≤{[(1-c)+c]/2}^2=1/4,相乘得:(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤(1/4)^3,这就与矛盾了，所以假设不成立所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于1/42:因为1/2^2<1/(1×2),1/3^2<1/(2×3),。。。。1/n^2<1/[(n-1)×n]所以1+1/2^2+1/3^2+。。。+1/n^2<1+1/(1×2)+1/(2×3)+。。。+1/[(n-1)×n]=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+。。。。+(1/(n-1)-1/n)=1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+。。。+1/(n-1)-1/n=2-1/n即1+1/2^2+1/3^2+。。。。。+1/n^2<2-1/n。
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1。假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴1-a＞0，由平均值不等式得：[(1-a)+b]/2≥√[(1-a)b]＞√(1/4)=1/2同理：[(1-b)+c]/2＞1/2；[(1-c)+a]/2＞1/2将这三个不等式两边分别相加得：[(1-a+b)/2]+[(1-b+c)/2]+[(1-c+a)/2]＞(1/2)+(1/2)+(1/2)整理得：(3/2)＞(3/2)很明显，这是不可能的，则假设不成立即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于1/4-------------------------------------------------------2。∵1/2^2＜1/(1×2),1/3^2＜1/(2×3)……1/n^2＜1/[(n-1)×n]∴1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/n^2)＜1+[1/(1×2)]+[1/(2×3)]+。。。+{1/[(n-1)×n]}=1+[1-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+。。。。+{[1/(n-1)]-(1/n)}=1+1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+。。。+[1/(n-1)]-(1/n)=2-(1/n)得证。