已知定义域为R的函数y=f(x)满足:1.f(x+y)=f(x)*f(y)对任意实数x、y都成立2.对于任意不相等的实数x1、x2均有f(x1)≠f(x2)求证f(x)>0
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证明:因为f(x+y)=f(x)×f(y)所以f(x/2+x/2)=f(x/2)×f(x/2)=[f(x/2)]^2若[f(x/2)]^2=0,则f(x/2)=0,则f(x/2+y)=f(x/2)f(y)=0,则f(x/2+y)=0令x/2+y=x1,即f(x1)=0,同理f(x/2+y1)=0,令x/2+y1=x2,则f(x2)=0,则f(x1)=f(x2),这就与条件矛盾了，所以[f(x/2)]^2≠0,所以f(x)＞0
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f(0)=f(0)*f(0) f(0)=1 f(0)=f(2x)*f(-2x)=1 f(2x)+f(-2x)=f(x)的平方+f(-x)的平方 x不等于-x(x=0直接=1大于0)f(x)不等于f(-x) f(x)的平方+f(-x)的平方大于0f(2x)+f(-2x)大于0 f(2x)*f(-2x)大于0f(-2x),f(-2x)大于0 即f(x)大于0
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1）f(0+0)=f(0)*f(0)==f(0)=0,1若f(0)=0==》x0,f(x-x)=f(x)*f(-x)=0==f(x)或f(-x)=0和2.矛盾所以f(0)=1。2）若有x≠0，f(x)=0==》f(2x)=f(x)*f(x)=0，而2x≠x，和2.矛盾所以所有x，f(x)≠0。3）所有x，f(x)=f(x/2)*f(x/2)0.