已知：α+β+γ=π/2 0≤α<π/2, 0≤β<π/2, 0≤γ<π/2求证：√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5) ≤4√3
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预备知识:1)三元的均值不等式:三个正数的算术平均数不小于它们的平方平均数.就是(a+b+c)/3=a+b=Pi/2-c---tan(a+b)=cotc---(tana+tanb)/(1-tanatanb)=1/tanc---(tana+tanb)tanc=1-tanatanb---tanatanb+tanbtanc+tanctana=1.证明:[√(tanAtanB+5)+√(tanBtanC+15)+√(tanCtanA+5)]/3=√(tanAtanB+5)+√(tanBtanC+5)+√(tanCtanB+5)=A=B=C=Pi/6时等号成立.所以原不等式成立.
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我同意大师讲法
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前面yilwohz大师答得很好！请采纳。我喜爱这种类似问题，我再回答你一种解法玩。已知：α+β+γ=π/2 0≤α<π/2, 0≤β<π/2, 0≤γ<π/2求证：√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5) ≤4√3证明：想得求证，只需证明[√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5)]^2 ≤48由柯西不等式可知[√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5)]^2 ≤3(tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα+15)因此，只需证明3(tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα+15) ≤48既 tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα ≤1而 tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα= tanα×（tanβ+ tanγ）+ tanβ×tanγ= tanα×tan（β+γ）（1- tanβ×tanγ）+ tanβ×tanγ= tanα×tanα（1- tanβ×tanγ）+ tanβ×tanγ=1故原不等式成立。。
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woshishiba