一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n>2)等份,种植红,黄,紫三种不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.n等份为a1,a2,a3,...,an a1与an相接 有多少不同的种植方法?
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解：设花坛周围的圆环分成n等份(a1,a2,a3,……,an)时，有s(n)不同的种植方法(n2)显然s(3)=6，s(4)=18。且s(n)只与份数n有关，在满足每一份只与它两边的两份相连，与其他的都不相连的条件下，s(n)与每一份的大小无关。当n4时，分为两种情况来分析s(n)：在n份中选相邻三部分an-2,an-1,an（1）设满足an-2与an的颜色不同时种植方法有f1种，则因为一共只有3种颜色，且相邻的两部分颜色不同，所以an-1的颜色由an-2和an唯一确定。这样f1等同于把圆环分成(n-1)等份（即a1,a2,a3,……,an-2,an）的总种植方法数s(n-1),得f1=s(n-1)。(2)设满足an-2与an的颜色相同时种植方法有f2种，则因为一共只有3种颜色，且相邻的两部分颜色不同，所以an-1的颜色受an-2和an所限制只能取不同于an-2(也是an)的另外两种颜色。这样f2等同于把圆环分成(n-2)等份（即a1,a2,a3,……,an-2）的总种植方法数s(n-2)的两倍,得f2=2s(n-2)。综合(1)(2)得s(n)=s(n-1)+2s(n-2)（n4）由s(3)=6，s(4)=18,递推公式s(n)=s(n-1)+2s(n-2)（n4）可求得s(n)=2^n+2×(-1)^n (n2)所以共有2^n+2×(-1)^n 种不同的种植方法。
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无数种！
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本人不是什么数学高手！！！