某工厂的自动生产线加工的某零件的内径X（单位mm)服从N（u,1)，规定该零件内径小于10mm或大于12mm时为不合格产品。已知该产零件销售利润Y与X有如下关系： -1，X<10Y=｛20,10<=X<=12 -5,X>12问零件的平均内径u取什么值时，销售一个零件的平均利润最大？
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这个题目应该这样做：记F(x)是X的分布函数，Φ(x)是标准正态分布的分布函数，标准正态分布的密度函数是[e^(-xx/2)]/√(2π)则Y=(-1)*P(X12)=-F(10)+20[F(12)-F(10)]-5[1-F(12)]=25F(12)-21F(10)-5=25Φ(12-u)-21Φ(10-u)-5Y'=-25Φ'(12-u)+21Φ'(10-u)=-25[e^(-(12-u)(12-u)/2)]/√(2π)+21[e^(-(10-u)(10-u)x/2)]/√(2π)令Y'=0，得到e^(22-2u)=25/21，即22-2u=ln(25/21)解得u=11-[ln(25/21)]/2≈10.9128233这就是使Y取得最大值的u的取值。
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按工厂实际计算,一般用查表的方法:(当然你如果常用,可编程计算.) 我们先设定u=11;平均利润S=20*0.6826-6*0.1587=12.6998;如果把u向左移,那么X12的区域减少,而10<=X<=12的区域也减少.我们利用这些关系,用你的高等数学,解出一个极值,并求出u的值.(有兴趣可以试试)而我喜欢采用查表及近似计算的方法:因随着u的移动,S增加,到某一点时等于0,然后再减少,目标就是找出等于0的那一点.在正态分布的密度函数表上,利用与1.0对称的两个值x,y,使21x=25y;查出与1.0的偏差为0.09,所以u=10.91;此时S=20*0.6807-1*0.1814-5*0.1379=12.7431答:零件的平均内径u取10.91时，销售一个零件的平均利润最大.