求证:在非直角三角形ABC中,若a>b,ha,hb分别表示a,b边上的高,则必有a+ha>b+hb.
热心网友
求证:在非直角三角形ABC中,若ab,ha,hb分别表示a,b边上的高,则必有a+hab+hb. 解:∵Ｓ=(1/2)ａｈa=(1/2)ｂｈb∴ｈa=２Ｓ/ａ，ｈb=２Ｓ/ｂ∴(ａ+ｈa)-(ｂ+ｈb)=(ａ+２Ｓ/ａ)-(ｂ+２Ｓ/ｂ)=(ａ-ｂ)+(２Ｓ/ａ-２Ｓ/ｂ)=(ａ-ｂ)+(ｂ-ａ）2Ｓ/ａｂ=(ａ-ｂ)[(ａｂ-２Ｓ）/ａｂ］……①又Ｓ=（1/2）ａｂsinC＜（1/2）ａｂ[注:0＜sinC＜1]Ｓ＜（1/2）ａｂ∴ａｂ-2Ｓ＞0,又(ａ-ｂ)＞0∴(ａ+ｈa)-(ｂ+ｈb)=(ａ-ｂ)[(ａｂ-２Ｓ）/ａｂ］＞0∴ａ+ｈa＞ｂ+ｈb.