已知函数f（x）对于一切x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）（1）求证：f（x）在R上满足f（－x）＝－f（x）；（2）若x＞0时，f（x）＜0，且f（1)=-2/3,判断f（x）的单调性，并求出f（x）在［－3，3］上的最大值和最小值
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(1) 因为F(0)=F(0+0)=F(0)+F(0) 所以F(0)=0 又 F(X-X)=F(X)+F(-X)=F(0)=0 即f（－x）＝－f（x）(2) 令A 0 F(X+A)=F(X)+F(A)X 所以f（x）单调递减 最大值为f（-3）=-F(3)=-(F(1+2))=-(3F(1))=2 最小值为f（3）=-2
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分析：这题的重点在于搞懂这种函数的图象，抓住f（x＋y）＝f（x）＋f（y），找特殊点进行带入，从而发现出图象的规律。解：（1）证明：f(0+0)=f(0)+f(0)所以f(0)=0由f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0得证f(-x)=-f(x)（2）对于任何一点(x,f(x))都有f(x)=2f(x/2)f(x)随x增大而减小所以单调递减f(2)=-4/3由于该函数为奇函数，且x＞0时，f（x）＜0，所以该函数为减函数，最小值为f(3)=f(2)+f(1)=-2最大值为f(-3)=-f(3)=2