证明１１１．．．１－２２２．．．２是一个完全平方数．
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an=11111。。1(2n个1），bn=222。。2（n个2），an=1+10+10^2+。。+10^(2n-1)=[10^(2n)-1]/9bn=2[1+10+10^2+。。+10^(n-1)]=2[10^(n)-1]/9==an-bn=[10^(2n)-2*10^(n)+1]/9={[10^(n)-1]/3}^210^(n)-1=(9+1)^(n)-1=9*k==[10^(n)-1]/3为整数。==》an-bn是一个完全平方数．补：1。等比数列：a+aq+aq^2+。。+aq^(k-1）=a[q^(k)-1]/[q-1]。2。10^(n)-1=(9+1)^(n)-1==9^n+C（n，1）9^(n-1）+C（n，2）9^(n-2）+。。。C（n，n-1）9+1-1==9[9^（n-1）+C（n，1）9^(n-2）+C（n，2）9^(n-3）+。。。C（n，n-1）]==9*k。==an-bn=(3k)^2。。