若x为任意实数.求证:-1/2≤x/1+x^2≤1/2
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设 x/(1 + x^2) = t 当 x = 0 时，t = 0 当 x ≠ 0 时，1/t = (1 + x^2)/x = x + (1/x) 1/|t| = |1/t| = | x + (1/x) | = |x| + 1/|x| ∈ [2, +∞) 所以 |t| ∈ (0, 1/2] 所以 |t| ∈ [0, 1/2]即 -1/2 ≤ t ≤ 1/2 另一种方法是“判别式法”——即：整理成 tx^2 - x + t = 0 若 t = 0 ，则显然有对应的x（x=0），所以t=0属于所求的值域； 若 t ≠ 0 ，则关于x的方程 tx^2 - x + t = 0 有实数解的条件是 △ = 1 - 4t^2 ≥ 0 , 得 -1/2 ≤ t ≤ 1/2 （t ≠ 0 ） 综上所述，-1/2 ≤ t ≤ 1/2 。
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若x为任意实数.求证:-1/2≤x/(1+x^2)≤1/2 .证明:(1).当x=0时,不等式显然成立.(2).当x≠0时,1+x^2≥2|x|0,所以0<1/(1+x^2)≤1/2|x|,所以x/(1+x^2)≤x/2|x|≤1/2×|x/x|=1/2∴-1/2≤x/(1+x^2)≤1/2 综上所述:-1/2≤x/(1+x^2)≤1/2 注:(1).a^2+b^2≥2ab.(2).a≤|a|.