(x-a^2)(x-2a+1)≤0 ① 已只两个不等式 x^2-1≥0 ②, 其中a为给定的实数,回答下列问题: Ⅰ 满足①或②的解为一切实数时,求a的取值范围; Ⅱ 同时满足①,②的实数x不存在时,求a的取值范围. Ⅲ 同时满足①,②的实数x的范围b≤x≤-1,试求b的取值范围.
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解：(x-a^2)(x-2a+1)=(x-a^2)[x-(2a-1)]≤0 ① 比较a^2与2a-1的大小a^2-(2a-1)=(a-1)^2≥0 →当a=1时相等，当a≠1时，a^2＞2a-1(1)当a=1时，①式(x-a^2)(x-2a+1)≤0 化为(x-1)^2≤0有唯一解，即x=1②式x^2-1≥0解得x≥1或x≤-1分析，此时不满足上述的ⅠⅡⅢ条件，故a=1时不成立(2)当a≠1时，(a^2＞2a-1)①式(x-a^2)(x-2a+1)≤0 的解集为2a-1≤x≤a^2②式x^2-1≥0解得x≥1或x≤-1讨论：②式解集为x≥1或x≤-1不能满足条件Ⅰ，故只能①式满足条件Ⅰ①式(x-a^2)(x-2a+1)=≤0－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－同时满足①,②的实数x不存在∵②式解得x≥1或x≤-1且①式解集为2a-1≤x≤a^2∴-1＜2a-1≤x≤a^2＜1解得0＜a＜1－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－同时满足①,②的实数x的范围b≤x≤-1,试求b的取值范围。∵②式解得x≥1或x≤-1且①式解集为2a-1≤x≤a^2∴2a-1≤-1且a^2＜1解得-1＜a＜0，此时b=2a-1即-3＜b＜-1。
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∵(x-a^2)(x-2a+1)=0的根X1=a^2,x2=2a-1,x1-x2=a^2-(2a-1)=(a-1)^2≥0,∴x1≥x2∴不等式(x-a^2)(x-2a+1)≤0的解集为{x|2a-1≤x≤a^2}不等式 x^2-1≥0的解集为{x|x≥1,或x≤-1}Ⅰ 满足①或②的解为一切实数时,求a的取值范围; 即①②的并集为R,所以2a-1≤-1,a^2≥1解得a≤-1.Ⅱ 同时满足①,②的实数x不存在时,求a的取值范围. 即①②的交集为空集,所以-1<2a-1≤a^2<1解得0