已知函数Ｆ（ｘ）＝［（Ｘ/Ｍ）－１］＾２ ＋［（Ｎ/Ｘ） －１）］＾２ 的定义域为［Ｍ，Ｎ］，且１≤ Ｍ＜Ｎ≤ ２． 求１．讨论函数Ｆ（Ｘ）的单调性． ２．证明；对于任意的实数Ｘ１，Ｘ２属于［Ｍ，Ｎ］，不等试｜Ｆ（Ｘ１）－Ｆ（Ｘ２）｜＜１恒成立． 请详细解答！！
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已知函数Ｆ（ｘ）＝［（Ｘ/Ｍ）－１］＾２ ＋［（Ｎ/Ｘ） －１）］＾２ 的定义域为［Ｍ，Ｎ］，且１≤ Ｍ＜Ｎ≤ ２． 求１．讨论函数Ｆ（Ｘ）的单调性． 解:F(x)=[(x/m)-1]^+[(n/x)-1]^=[(x/m)^+(n/x)^]-2[(x/m)+(n/x)]+2=[(x/m)+(n/x)]^-2n/m-[2(x/m)+(n/x)]+2=[(x/m)+(n/x)-1]^-2(n/m)+1∵(x/m)+(n/x)≥2√(n/m)21∴只需研究(x/m)+(n/x)的单调性。上面已经提到了(x/m)+(n/x)≥2√(n/m)当(x/m)=(n/x)即:x=√(mn)时上面不等式等号成立。也就是说当x=√(mn)时(x/m)+(n/x)取最小值。∴当x∈[m,√(mn)]时;任取两点x1,x2。使m≤x10∴当x∈[m,√(mn)]时(x/m)+(n/x)是单调递减的。∴F(x)在x∈[m,√(mn)]时也是单调递减的;同理得:当x∈[√(mn),n]时,F(x)是单调递增的。２．证明；对于任意的实数Ｘ１，Ｘ２属于［Ｍ，Ｎ］，不等试｜Ｆ（Ｘ１）－Ｆ（Ｘ２）｜＜１恒成立．∵F(x)=[(x/m)-1]^+[(n/x)-1]可得:F(m)=F(n)=[(n/m)-1]^∴F(x)最大植为:F(m)=F(n)=[(n/m)-1]^∴F(x)最小植为:F(√(mn))=2[(√(n/m)-1]^x1,x2∈［Ｍ，Ｎ］，且１≤ Ｍ＜Ｎ≤ ２∵∣F(x1)-F(x2)∣≤F(x)最大植-F(x)最小植=[(n/m)-1]^-2[(√(n/m)-1]^0。显然∣F(x1)-F(x2)∣<1成立]。
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