试证不定方程x^2-2xy^2+5z+3=0无整数解.此题是作天返校竟赛老师给的数学卷内第21题。
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证明:将x看作未知数，则方程x^2-2xy^2+5z+3=0是关于x的一元一次方程。（1）当△<0时，方程无解，当然也就无整数解。（2）当△≥0时，根据求根公式：x={2y^2±√[(-2y^2)^2-4(5z+3)]}/2=y^2±√(y^4-5z-3)分析：因为y取整数时y^4的个位数字只能取（0、1、5、6），所以y^4-3的个位数字只能取（2、3、8、7)故有A。当z是偶数时5z的个位为0，y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)B。当z是奇数时5z的个位为5，y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)综合A、B有当y、z取整数时y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)x要取整数则y^4-5z+3必为完全平方数，而个位数字为2、3、8、7的整数不可能是完全平方数，因为完全平方数的个位数字只能取0、1、4、5、6、9所以y、z取整数时，x不是整数。综合（1）（2）得不定方程x^2-2xy^2+5z+3=0无整数解注：可以验证个位为0~9的整数的四次方的个位分别为：0、1、6、1、6、5、6、1、6、1个位为0~9的整数的平方的个位分别为：0、1、4、9、6、5、6、9、4、1补充方法二：和楼下的差不多解：若不定方程有解，则 x=y^2±√(y^4-5z-3)但y^4≡0，1(mod5), ∴ 对y,zy^4-5z-3≡2，3(mod5)而一个平方数≡0，1，4（mod 5）∴ y4-5z-3不可能为完全平方，即 y^4-5z-3不是整数，所以原不定方程无解。。
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证明:满足方程的实数x 可表为x=y^2±√(y^4-5z-3).但y^4≡0,1(mod5),(不知你们老师在竞赛中有没有讲过同余的概念)故y^4-5z-3≡2,3(mod5).因而y^4-5z-3不是完全平方数,即√(y^4-5z-3)不是整数. 于是x^2-2xy^2+5z+3=0无整数解.命题证毕.
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证明：将原方程变形为（x－y^2）^2－y^4＋5z^3＋3=0由被5除得的余数特点知，整数的平方被5除只能余0，1，4。从而（x－y^2）^2被5除余0，1或4。而y^4=(y^2)^2被5除只能余0或1,所以，上述方程的左边被5除的余数的可能值为1，2，3，4，但不为0故原方程无整数解。注：上述利用整除特性的方法你应该会。另外，证明不定方程无整数解时，用考虑余数时一个非常有用的工具。
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解：原式化为x^2+5x+3=2xy^2x(x+5)+3=2xy^2如果此方程有整数解，则因为 x(x+5) 始终是一个偶数，所以 x(x+5)+3 为奇数，即左边是奇数；但，很显然，等式右边是一个偶数，左右2边不可能相等。也就是说，这个方程不可能有整数解游戏数学，视数学如游戏更多信息请到我个人网站