用数学归纳法证明：在凸n边形中，以其顶点为顶点，但不以其边为边的所有三角形的个数共有1/6n(n-4)(n-5)
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1。n=6,显然成立。2。设n=k≥6，不以其边为边的所有三角形的个数共有（1/6）k(k-4)(k-5)。当n=k+1时，在凸k+1边形中，取A，B，C，D，E，5个相邻顶点，将不以其边为边的所有三角形分为3部分ⅰ。凸k+1边形中去C点的凸k边形中，由归纳法的设，有（1/6）k(k-4)(k-5)个三角形，也符合不以凸k+1边形边为边。ⅱ。以B，D为顶点不以凸k+1边形边为边，则另1顶点不在A，B，C，D，E，5个相邻顶点，有k+1-5=k-4个。ⅲ。以C为顶点，另2顶点不在B，C，D，3个相邻顶点的不相邻的2顶点，有C（k-3，2）=（k-3）（k-4）/2种。共有（1/6）k(k-4)(k-5)+k-4+（k-3）（k-4）/2=（1/6）（k+1）（k-3）（k-4）。有n=k+1时，成立，所以根据归纳法证明，所有n有在凸n边形中，以其顶点为顶点，但不以其边为边的所有三角形的个数共有1/6n(n-4)(n-5)。
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如图满足题目要求的最小整数是6,显然n(n-4)(n-5)/6成立设k7边形时k(k-4)(k-5)/6时成立下证k+1时(k+1)(k-3)(k-4)/6成立:显然,k+1边形可看作是k边形的基础上向外增加一顶点,如图则在原来k(k-4)(k-5)/6的基础上增加了以AB为边,不以AB相邻的原顶点为顶点的三角形(k-4)个,还增加了以新增点N这顶点,以原顶点中(除点A,B)不相邻的顶点为顶点的三角形(k-4)(k-3)/2个,即有k(k-4)(k-5)/6+(k-4)(k-3)/2+(k-4)=k(k-4)(k-5)/6+(k-4)(k-1)/2= k(k-4)(k-5)/6+3(k-4)(k-1)/6=(k-4)(k^2-2k-3)/6=(k+1)(k-3)(k-4)/6所以在k+1时也成立证毕
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