设f(x)是定义在R上的任意一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),求F(x)的反函数的单调性及奇偶性.
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设f(x)是定义在R上的任意一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),求F(x)的反函数的单调性及奇偶性.F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),∴F(x)是奇函数；对任x2x1,F(x2)-F(x1)=[f(x2)-f(-x2)]-[f(x1)-f(-x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[f(-x1)-f(-x2)]因为f(x)是增函数，x2x1,-x1-x2,所以F(x2)-F(x1)0,F(x)是增函数。因为奇函数的反函数是奇函数，增函数的反函数是增函数，所以F(x)的反函数是增函数，也是奇函数。
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可以画个图，自己看一下，原函数和反函数关于y=x对称，增函数的对称图象还是增函数
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奇函数因为F（-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)增减性与f(x)相同yunfei680@