有很多种方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种方法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是多少？ 请写出具体解题思路。非常感谢！
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解:这25个自然数的最大公约数应能整除这25个数的和2001而2001=3×23×29,要想这25个数的最大公约数取最大,则需这25个数尽也尽量大.2001的约数有: 2001,667,87,69,29,23,3,1.很明显,这25个数书的最大公约数不可能取2001.又因为2001=667×3,即最对是3个667的和,不可能分为25个以667为公约数的和,所以最大公约数也不可能是667.同理:2001=23×87,也不可能分成23个以87为公约数的和,所以87也不是所求的最大公约数.因:2001=29×69,即可取,24个69,1个345为这25个数,则25个数的和是24×69＋345=2001那么它们的最达约数是69.这是符合题目条件的最大值.所以这25个自然数的最大公约数是69.
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设25个自然数的最大公约数为K: Am = K*Bm,(m = 1,...,25) 则: 2001 = .+A24+A25 = K*(B1+B2+...+B24+B25) = 3*667B1+B2+...+B24+B25 25 因此: K = 3 即：这些最大公约数中的最大值是 3。
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设此最大公约数为x,则25个自然数都可以写成xN的形式,(n为不确定自然数)25个数之和为x*(N1+N2+……+N25)=2001=3*667=1*2001由于2001写成两个数的积只有这两种半法而(N1+N2+……+N25)25,所以(N1+N2+……+N25)=2001或667x=3/1所以x最大值为3
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设25个自然数的最大公约数为K: Am = K*Bm,(m = 1,...,25)则: 2001 = A1+A2+...+A24+A25 = K*(B1+B2+...+B24+B25) = 3*667B1+B2+...+B24+B25 25因此: K = 3即：这些最大公约数中的最大值是 3。