已知三棱柱S-ABC三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，它们与底面ABC成角分别为α ，β ，γ求证：SIN^2(α) +SIN^2(β )+SIN^2(γ)为定植,并求此值(注:^2是平方)
热心网友
证明:设S在底面ABC上的射影为O,连AO,BO,CO。并设AO,BO,CO交对边与D,E,F。∵SA⊥SB,SA⊥SC∴SA⊥面SBC∴SA⊥BC又SO⊥底面ABC,由三垂线定理可得:∴AO⊥BC,同理BO⊥AC,CO⊥AB∴O是△ABC的垂心。在△ASD中,∵SO⊥底面ABC,∴SA与底面ABC成角就是∠SAO=α。∴sinα=SD/AD=∴sin^α=SD^/AD^又射影定理(平面几何)可得:SD^=DO·AD[注:或利用△SOD∽△ASD]∴sin^α=SD^/AD^=DO·AD/AD^=DO/AD又三角形OBC的面积为ＳOBC=(1/2)BC·DO。三角形ABC的面积为ＳABC=(1/2)BC·AD。DO/AD=ＳOBC/ＳABC∴sin^α=ＳOBC/ＳABC同理sin^β=ＳOAC/ＳABC,sin^γ=ＳOAB/ＳABCsin^α+sin^β+sin^γ=ＳOBC/ＳABC+ＳOAC/ＳABC+ＳOAB/ＳABC=(ＳOBC+ＳOAC+ＳOAB)/ＳABC=1。
热心网友
电脑有问题了