已知:矩形ABCD中,AE,BE,CF,DF分别是四个内角的角平分线,AE,DF相交于点M,BC,CF相交于点N求证:EMFN为正方形三角形ABC是等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并使AE=BD,连接CE,DE求证:EC=ED若BC=CD=2,求EC
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(1)证明:(请按照题意画图)∵矩形ABCD中,AE,BE,CF,DF分别是四个内角的角平分线,AE,DF相交于点M,BC,CF相交于点N∴∠BAE=∠ABE=∠MAD=∠MDA=∠FDC=∠FCD=∠NCB=∠NBC=45°∠EMF=∠MFN=∠NEM=∠EMF=90°∵AB=CD BC=AD ∴△ABE≌△FDC。 △AMD≌△BNC∴AE=BE=FC=FD AM=MD=BN=NC ∴EN=EM=FN=FM∴EMFN为正方形。(2)证明:(请按照题意画图)延长BD到F,使DF=AB 则BF=BD+DE=BD+AB=AE+AB=BE∵△BEF中,∠ABC=60° BE=BF ∴△BEF是等边三角形 ∠EBC=∠EFD=60°BE=EF 又BC=AB=DF∴△BCE≌△DEF ∴EC=ED用余弦定理:AC＾2=BC＾2+BE＾2-2BC×BEcos60°=4+16-2×2×4×1/2=12∴AC=2√3。