级数的一般项：a（5k）=-4/(5k)，an=1/n，n不是5的倍数。讨论其敛散性。我在一般问题 > 教育 > 考研 > 数学 中aimsrenmin 2005-10-06 的“请教一道有关幂级数的题”回答得ln((1-x^5)/(1-x))=ln(1-x^5)-ln(1-x)=∑{1≤k<+∞}akx^(k)。在讨论x=1时我证明∑{1≤k<+∞}ak收敛。如下：当x=1时，a（5k+1）+a（5k+2）+a（5k+3）+a（5k+4）+a（5k+5）==1/(5k+1)-1/(5k+5)+1/{5k+2)-1/(5k+5)+1/(5k+3)-1/(5k+5)]+1/(5k+4)-1/(5k+5)=4/[(5k+1)(5k+5)]+3/[(5k+2)(5k+5)]+2/[(5k+3)(5k+5)]+1/[(5k+4)(5k+5)]设Sn=∑{1≤k≤n}ak，n=5m+l，1≤l≤4，==》Sn=∑{1≤k≤n}ak=[a1+a2+a3+a4+a5]+。。。++[a（5m-4）+a（5m-3）+a（5m-2）+a（5m-1）+a（5m）]++[a（5m+1）+。。+a（5m+l）]==∑{0≤k≤m-1}4/[(5k+1)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}3/[(5k+2)(5k+5)]++∑{0≤k≤m-1}2/[(5k+3)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}1/[(5k+1)(5k+5)]++[a（5m+1）+。。+a（5m+l）]=Tm+bn其中Tm=∑{0≤k≤m-1}4/[(5k+1)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}3/[(5k+2)(5k+5)]++∑{0≤k≤m-1}2/[(5k+3)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}1/[(5k+1)(5k+5)]，bn=[a（5m+1）+。。+a（5m+l）]，容易得Tm收敛，即Lim{m→+∞}Tm=T，Lim{n→+∞}bn=0==》Sn收敛于T。并说：在计算x=1时，级数收敛，若用1/1+1/2+1/3+。。1/n=lnn+Cn，其中数列Cn收敛于欧拉常数C，则问题较容易。有位大学教师huangcizheng 认为∑{1≤k<+∞}ak发散，理由调和级数∑1/n发散。敬请有兴趣者光临。
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我只讨论这个题目。这个级数显然是收敛的， 只要不变动次序，随便你怎么加括号。用 1-1+1-1+。。。 来做反例是错误的， 因为这个例子里面的项(不）趋于零，而楼主出的题目里各项趋于零。楼主的证明也正确，如果要严格些，也要用什么sigma, delta, 什么Cauchy 判断定理， 也无不可。============================================当然，兄弟实在不是高手，更不是大学数学老师。=======10/10 晨，发现掉了一个不字。=============================================================10/10 午夜，兄弟没去讨论那个级数 Sigma（a_n) 的收敛性，因为它确实太简单了。下面向略谈一下 ln[(1-x^5)/(1-x)] 在x=0 处的Taylor 展开，来说明 楼主得出的答案是正确的。有个叫 Abel 的人，有这样一个定理：如果Taylor 级数p的收敛半径0, 并且 对 在收敛圆上的z来说，p(z) 收敛， 那么 p(tz)-p(z), 其中 t -1^-。 现在 “大家” 已经证明了那个级数Sigma（a_n)收敛，那么 Sigma（a_n)=lim_{x-1^-} Sigma(a_n x^n)=lim_{x-1^-}ln[(1-x^5)/(1-x)] =ln5。这个定理是在复分析里的。 这里当然取的解析分支是 ln1=0 的那一支。似乎此题与那个叫 Riemann 的人没有关系。。
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你们讨论得?淙饶郑踔粱褂械慊鹨┪叮∑涫蹈眉妒鞘樟驳模。。?证明如下：（1）用Sn表示部分和。因为n不是5的倍数时，an=1/n →0 (n→+∞) 所以 序列{Sn}收敛当且仅当{S5n}收敛。（2）下面用两种方法证明{S5n}收敛： （a)S5n=1+1/2+。。。。1/(5n)-(1+1/2+。。。1/n)=ln(5n)+C5n-lnn-Cn=ln5+C5n-Cn→ln5 (n→+∞) (b) 因为： 1/(5n-4)+1/(5n-3)+1/(5n-2)+1/(5n-1)-4/5n= 4/[(5n)*(5n-4)]+3/[(5n)*(5n-3)]+2/[(5n)*(5n-2)]+1/[(5n)*(5n-1)] 所以S5n可以表示成四个收敛的级数∑4/[(5n)*(5n-4)] ,∑3/[(5n)*(5n-3)] ,∑1/[(5n)*(5n-1)] 的部分和的和。因此 {S5n}收敛综合（1）（2）序列{Sn}收敛，从而该级数是收敛的！！！顺便说一下本题中的a5n项的系数（姑且这样叫吧！）的分子4很关键。如果把4改为1，2，3，5等，级数就不收敛！！！。
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这样的问题，一般做学生的可能无法讲清楚，如果这里有教授《数学分析》或《高等数学》两年以上的教师，欢迎讨论。你的回答里至少有两点错误，第一点是致命的概念错误，第二点则是在情急之下的低级错误，就是我说的你越补充越离谱了。先说第一点。收敛的级数任意添加括号以后得到的级数仍然收敛，且和不变。——这是无穷级数的一个基本性质，高等数学里在无穷级数第一节讲无穷级数概念的时候讲的。但是它的逆命题是不成立的，即添加括号以后的级数收敛，并不能得到原来的级数收敛的结论，也就是说，发散的级数添加括号以后的级数也可能收敛。例如级数：1-1+1-1+1-1+……是发散的，但(1-1)+(1-1)+(1-1)+……却是收敛的。你把这个级数每5项看作一项，实际上是按每5项添加括号，得到的级数收敛也不能说明原来的级数收敛。我们知道，级数的和是其部分和Sn构成的数列的极限，但你这里写的Sn却并不是原来级数的部分和数列，而是添加括号以后的级数的部分和数列，只是原来级数部分和数列的一个子数列，子数列的极限存在，并不能得到原来数列极限存在的结论。这里还只是因为你上面所说的概念没有搞清楚的缘故。但在你的补充里却犯了一个明显的低级错误，就是我要说的第二点。1/1+1/2+1/3+…+1/n=lnn+Cn，其中数列Cn收敛于欧拉常数C，但lnn却是趋向于无穷大的，自然结论应该是1/1+1/2+1/3+…+1/n+…发散。在那里的评论里，你甚至说什么这是两个发散的级数相加得到收敛级数典型的例子，就有点胡说八道的味道了。希望你认真地去重新看一下高等数学里无穷级数的内容，理清楚概念，如果能因此得到提高，也是幸事。。