三棱锥P-ABC中,若点A在平面PBC的射影是△PBC的垂心,求证P在平面ABC的射影也是△ABC的垂心.

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设点A在平面PBC的射影是M。因为M是△PBC的垂心，所以直线PM垂直于直线BC。因此说平面内的直线BC垂直于直线PA的射影.根据三垂线定理可知：直线PA垂直于BC.那么PA在平面ABC内的射影就垂直于BC.(根据三垂线定理的逆定理）同理CA垂直于PB,也就是PB在平面的射影也垂直于AC.设P在平面ANC内的射影是N，那么AN垂直于BC,BN垂直于AC。所以N是△ABC的垂心.