已知三角形三条边所在直线方程3x+4y-17=O,4x-3y+19=0,y-2=0.求三角形内切圆的方程.
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不妨设3x+4y-17=0,4x-3y+19=0,y-2=0为L1,L2,L3;则L1与L2交点为A（－１，５）；L1与L３交点为B（３，２）；L２与L３交点为C（－１３／４，２）； 注意AB垂直于AC，则三角形的面积为1/2|AB|*|AC|,而内切圆的半径等于两倍的三角形的面积除以三边和为５／４； 设圆心为O（m,n）,则O到L３的距离为５／４；即n-2=5/4,n=13/4; 同理，则O到L1的距离为５／４,得m=-3/4; 故：(x+3/4)^2+(y-13/4)^2=(5/4)^2 （距离未带绝对值号是已判断点与直线的关系后，合理舍去的）
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解方程组3x+4y-17=0; 4x-3y+19=0,得到x=-1; y=5---A(-1,5)解方程组3x+4y-17=0; y-2=0,得到x=3; y=2---B(3,2)解方程组4x-3y+19=0; y-2=0,得到x=-13/4; y=2---C(-13/3,2)因为k(BC)=0; k(AB)=-3/4; k(AC)=4/3---A=π/2;B=π-arctan(3/4);C=arctan(4/3)。按照半角公式,tan(C/2)=(1-cosC)/sinC=(1-4/5)/(3/5)=1/3。就是说角C的平分线的斜率是k=1/3,因此角平分线L(C)的方程是y-2=1/3*(x+13/3)---3x-9y+31=0。(1)同理由tan(Pi-B)=3/4;得到tan[(Pi-B)/2]=cot(B/2)=(1+cosB)/sinB=(1-3/5)/(4/5)=1/2由此得到,锐角(Pi-B)的平分线的斜率是k=-1/2,因此角平分线L(B)的方程是y-2=-1/2*(x-3)---x+2y-7=0。(2)由(1);(2)解得x=1/15; y=52/15。这就得到三角形的内心 P(1/15,52/15)此内心到边y=2的距离是52/15-2=22/15,就是r=22/15所以三角形的内切圆的方程是 (x-1/15)^2+(y-52/15)^2=484/225---(15x-1)^2+(15y-52)^2=484。 。
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把前两个式子组成方程组,然后解得X,=,Y=?