已知圆C：X^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截的的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线L的方程；若不存在说明理由
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解:存在这样的直线L.设直线L为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=x1+m,y2=x2+m由y=x+m和x^2+y^2-2x+4y-4=0组成方程组笑去y得2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0由根与系数关系得x1+x2=-m-1,x1×x2=(m^2+4m-4)/2若以弦AB为直径的圆过原点则OA⊥OB,所以向量OA与OB垂直,它们的数量积为0,而向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)所以x1x2+y1y2=0∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=02(x1x2)+m(x1+x2)+m^2=0即2×(m^2+4m-4)/2+m(-m-1)+m^2=0解得m=-4或m=1.所以直线L的方程为y=x-4或y=x+1即x-y-4=0或x-y+1=0.
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设L:Y=X+m,代入圆方程x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0即2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0所以x1+x2=-(m+1),x1*x2=(m^2+4m-4)/2A(x1,y1),B(x2,y2)要弦AB为直径的圆过原点O，OA的斜率*OB的斜率为-1，即(y1/x1)*(y2/x2)=-1x1*x2+y1y2=0x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m^2=(m^2+4m-4)-m(m+1)+m^2=m^2+3m-4=0得m=1或-4所以L:y=x+1或y=x-4
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解法一:利用圆的几何性质设L:y=x+m, AB中点N又圆心C(1,2), r=3则AB^CN且AB∩CN=N解法二:利用常规解法设L:y=x+m, A(x1,y1), B(x2,y2)以为AB直径的圆过原点因二个解法要画二个图，详解见附件：