已知直线l:x-y+9=0和椭圆C:x^2+4y^2=12，以椭圆C的焦点为焦点，做另一个椭圆且与直线 公共点。问公共点在何处时，新椭圆上的点到两焦点的距离之和最短，并求该椭方程。
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解: ∵椭圆 C:x^2+4y^2=12 ∴椭圆长轴a a＾=12。 短轴b b＾=3半焦距c c＾=9 c=±3设焦距为C1,C2。 则C1(-3,0)。 C2(3,0)过C2点做直线L:x-y+9=0的垂线,交直线L于B点。延长到D点,使│DB│=│BC2│连DC1交直线L于A点,A点到C2,C1距离之和最短。设公共点为A(Xa,Ya)点。直线x-y+9=0的斜率为K1=1直线DC2方程为Y=KX+b 其中K=-1/K1=-1 带入 C2(3,0)求得b=3 则Y=-X+3直线DC2与直线L交点B坐标通过解x-y+9=0 Y=-X+3得Xb=-3 Yb=6D点坐标(Xd,Yd)。 (Xd+3)＾+(Yd-6)＾=(-3-3)＾+(6-0)＾。。。。。(1) Yd=-Xd+3。。。。。(2)解得:Yd=12。 Xd=-9直线DC1方程为:(Y-12)/(X+9)=(0-12)/(-3+9)。整理得:Y+6X+6=0直线DC1与直线L交点A坐标(Xa,Ya)通过解:Y+6X+6=0 x-y+9=0得: Xa=-5,Ya=4∵A为直线L与另一个椭圆E的切点 椭圆E的焦点与椭圆C的焦点重合。∴椭圆E方程为: X＾/a＾+Y＾/b＾=1 a＾-b＾=c＾=9。解得: a＾=45。 b＾=36 ∴X＾/45+Y＾/36=1 (D点坐标求法还有一个简便方法:过C2点做直线L:x-y+9=0的垂线,交直线L于B点。使│DB│=│BC2│。直线L交X轴于F点。F点坐标(-9,0)。∵∠BFO=45° DC2⊥BF ∴∠BC2F=45° ∴│BC2│=│BF│∴Rt△FDB≌Rt△FC2B │DF│=│FC2│=12 Yd=12。 │FO│=9 Xd=-9)。
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解:椭圆方程C:x^+4y^=12的焦点F1(-3,0),F2(3,0),F1(-3,0)关于直线l:x-y+9=0的对称点N(-9,6),则新椭圆上的点到两焦点的距离之和最短是|PF1|+|PF2|=|NF2|=6√5∴新椭圆方程中:a=3√5,c=3∴b=6。∴新椭圆方程为:x^/45+y^/36=1。注:F1(-3,0)关于直线l:x-y+9=0的对称点N(-9,6)怎么求的。①利用数形结合(如图)|MF1|=|MN|=6且∠PMF1=∠PMN=45°∴N(-9,6)②已知一个点的坐标，要求出关于某一直线对称的点的坐标，一般的讲，需要充分利用垂直平分线的性质“斜率之积等于－1”；“直线的交点平分线段”，比较麻烦。③但是，当对称轴的斜率是+'-1时有一个不见经传的“非法”办法：把已知点的坐标依次代入对称轴方程，就可以得到对称点的坐标。（这是可以证明的）例如本题中，已知点(-3,0)的横坐-3标代入y=x+9就得到对称点的纵坐标y=6，把已知点的纵坐标0代入对称轴方程y=x+9就得到对称点的横坐标x=-9。这样快速地得到(-3,0)关于y=x+9对称的点(-9,6)。
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=想想