双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，且离心率为√2，双曲线过点（4，-√10）若直线kx-y-3k+m=0(k为参数）所过的定点M在双曲线上，求证：F1M⊥F2M
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解:设双曲线方程(x/a)＾-(y/b)＾=1。直线kx-y-3k+m=0可写为 k(x-3)-(y-m)=0所明该直线过定点M(3,m)∵双曲线过点（4，-√10) ∴16/a＾-10/b＾=1。。。。。。。。(1)e=c/a=√2 c=a√2 。。。。。。(2)∵c＾=a＾+b＾。。。。。。。。(3) ∴解得a＾=6 c＾=12 b＾=6 │F1F2│/2=│c+c│/2=√12∵定点M在双曲线上 ∴将定点M(3,-m)代入(x/a)＾-(y/b)＾=1。 9/a＾-m＾/b＾=1 m＾=3∴│OM│=√(m＾+9)=√(3+9)=√12=│c+c│/2=│F1F2│/2既OM是直角三角形F1MF2斜边上中线。 ∴F1M⊥F2M 。