求圆X ^2+ Y ^2=1的切线和两坐标轴围成的三角形的面积小值,并求取得最小值时切线的方程.
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求圆X ^2+ Y ^2=1的切线和两坐标轴围成的三角形的面积小值,并求取得最小值时切线的方程。 设切点为（m,n) ,则切线为：mx + ny =1切线与坐标轴的交点为：(1/m ,0)、(1/n)因为m^2 +n^2 =1 所以 2*|mn|≤(m^2+n^2) = 1所以面积S= (1/2)*(1/|m|)*(1/|n|)≥ 1即|m|=|n|时，S最小为：1此时 m=n=√2/2 ,或m=n=-√2/2 或m=√2/2,n=-√2/2或m=-√2/2 ,n=√2/2所以代入mx + ny =1中得：x+y=±√2 或x-y=±√2参数法：设要点为（sina ,cosa),则切线为：x*sina +y*cosa =1切线与坐标轴的交点为：(csca ,seca)因为面积S＝(1/2)*|csca *seca|= 1/|sin2a|所以|sin2a|=1时，S最小为：1此时a=π/4 ,或a=-π/4或a=3π/4或a=-3π/4代入x*sina +y*cosa =1中得：x+y=±√2 或x-y=±√2。