已知x,y属于R,且x^2+y^2<=1,求|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|的范围
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已知x,y属于R,且x^+y^≤1,求|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|的范围 解:∵x^+y^≤1∴|x|≤1,|y|≤1∴|y+1|=y+1,|2y-x-4|=|4-2y+x|=4-2y+x∴|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|=|x+y|+y+1+4-2y+x=|x+y|+5-y+x①当x+y≥0|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|=x+y+5-y+x=5+2x5-√2≤5+2x≤7[注:x=1,y=0,5+2x=7,满足x+y≥0．x=-√2/2,y=√2/2,5+2x=5-√2,满足x+y≥0]②当x+y＜0|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|=-x-y+5-y+x=5-2y5-√2＜5-2y≤7[注:x=0,y=-1,5+2x=7,满足x+y＜0．x=-√2/2,y＜√2/2,5+2x=5-√2,满足x+y＜0]∴综合①,②得5-√2≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7或解:令x=Ｒcosθ,y=Ｒsinθ．0≤Ｒ≤1原式=|Ｒcosθ+Ｒsinθ|+|Ｒsinθ+1|+|2Ｒsinθ-Ｒcosθ-4|=√2Ｒ|sin(θ+45°)|+Ｒsinθ+1-(2Ｒsinθ-Ｒcosθ-4)=√2Ｒ|sin(θ+45°)|+5-Ｒsinθ+Ｒcosθ=√2Ｒ|sin(θ+45°)|+5+√2Ｒcos(θ+45°)令φ=θ+45°．0°≤φ≤360°∴原式=5+√2Ｒ|sinφ|+√2Ｒcosφ①当0°≤φ≤180°时:sinφ≥0∴原式=5+√2Ｒsinφ+√2Ｒcosφ=5+2Ｒsin(φ+45°)45°≤(φ+45°)≤225°当φ+45°=90°Ｒ=1,原式取最大值7当φ+45°=225°Ｒ=1原式取最小值5-√2②当180°≤φ＜360°时:sinφ＜0∴原式=5-√2Ｒsinφ+√2Ｒcosφ=5+2Ｒcos(φ+45°)225°≤(φ+45°)＜405°当φ+45°=360°Ｒ=1,原式取最大值7当φ+45°=225°Ｒ=1原式取最小值5-√2∴综合①,②得5-√2≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7。