已知直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是△ABC内切圆上的动点,求以PA,PA,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值
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已知直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是△ABC内切圆上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值 解:1)如图直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10设△ABC内切圆半径为R,∵AE=AF,BF=BG,∴AC+BC-AB=2R∴R=2。2)建立直角坐标系:BC为x轴,AC为y轴,C(0,0),B(6,0),A(0,8),D(2,2)△ABC内切圆方程:(x-2)^+(y-2)^=4。或参数方程:x=2+2cosθ且y=2+2sinθ设P(x,y)|PA|^=x^+(y-8)^|PB|^=(x-6)^+y^|PC|^=x^+y^∴|PA|^+|PB|^+|PC|^=[x^+(y-8)^]+[(x-6)^+y^]+[x^+y^]=3x^+3y^-12x-16y+100=3[(x-2)^+(y-2)^]-4y+76=3×4-4y+76=88-4y∵(y-2)^≤4∴0≤y≤4∴|PA|^+|PB|^+|PC|^最大值和最小值分别是88;72。PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和为:π(|PA|/2)^+π(|PB|/2)^+π(|PC|/2)^=(π/4)(|PA|^+|PB|^+|PC|^)∴最大值和最小值分别是22π;18π。。