任意给定一个正整数k，一定存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序数对(n,k)是
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(k,k) 或 (3m+2,2) (m∈Z+)
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x^n+x+1被x^ k+x+1除则x^n-x^ k=x^ k（x^（n- k）-1）被x^ k+x+1除设n- k=m，则x^ k+x+1=0 (1) 的根为x^（m）-1=0的根。x^（m）-1=0的根为e^(2πli/m),0≤l≤m-1,带入（1）得2πl/m=2π/3，4π/3 （2）得l=1/3m，2/3m （3）所以x^ k+x+1=0 只有2个根，而x^ k+x+1=0没有重根，则k=2或m=01）k=2，n=3l+ 2，0≤l。则x^（3l+ 2）+x+1被x^ 2+x+1除则这样的有序数对(n,k)=（3l+ 2，2），0≤l。2）k2，则m=0。则这样的有序数对(n,k)=（k,k)。补：1）x^（m）-1=0的根的绝对值=1x^ k+x+1=0，说明x^ k，x，-1，0为边长为1的菱形的顶点，则x=e^(2πi/3),或e^(4πi/3)。2）x^ k+x+1=0没有重根，是因为x^ k+x+1，kx^ （k-1）+1没有公共的根。。
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n=k