如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明。
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我解其中一个特例。是当 PG=PE,PF=PH时的特例。设正方形ABCD边长为1,设 PG=PE=x,依题意:2xx=(1-x)(1-x),化简后得:xx+2x-1=0解之得一个根:x=√2-1 (另一根不合题意,舍去。)即 PG=PE=√2-1,BH=√2-1,于是有:tg∠HAB=√2-1,可求出:∠HAB=45°/2∠HAF=90°-∠HAB-∠FAD=45°在这里,我声明,这只是一个特例,至于当PG≠PE,PF≠PH时,情况会怎样呢?还需进一步研究。10:35 10 November 2005经过研究，当PG≠PE，PF≠PH时，∠HAF也等于45°。(由于题目没有附图,为叙述方便起见,对图形作如下规定:AB边在下方,G点在AD边上,E点在AB边上。)证明如下:先推导一个简单的关系式。设 tgα=x (α＜45°)tg(45°-α)=(tg45°-tgα)/(1+tg45°×tgα)=(1-tgα)/(1+tgα)=(1-x)/(1+x),用反函数表示,有:arctgx+arctg[(1-x)/(1+x)]=45°。。。。。。(关系式1)回到正题,设正方形边长为1， PE=x,PG=y。依题意,得:2xy=(1-x)(1-y)2xy=1-x-y+xyxy+y=1-xy(x+1)=1-xy=(1-x)/(1+x)即PE=x,也就是BH=x,tg∠HAB=xPG=y=(1-x)/(1+x),也就是DF=(1-x)/(1+x),tg∠FAD=(1-x)/(1+x)根据关系式1,得:∠HAB+∠FAD=45°∠HAF=90°-∠HAB-∠FAD=45°。