设P,Q是抛物线y^2=x上满足OP垂直OQ的任意两点,其中O是坐标原点,P,Q都不是抛物线的顶点.(1)求证PQ所在的直线与x轴交于定点.(2)求三角形OPQ面积的最小值.
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设P,Q是抛物线y^2=x上满足OP垂直OQ的任意两点,其中O是坐标原点,P,Q都不是抛物线的顶点.(1)求证PQ所在的直线与x轴交于定点.(2)求三角形OPQ面积的最小值. 设P(m^2 ,m)、Q(n^2 ,n)因为OP⊥OQ ，所以 m/m^2 * n/n^2 =-1 ,即 mn=-1因为直线PQ为：(y-m)/(x-m^2 ) = 1/(m+n)当y=0时，x-m^2 = -m(m+n) ,所以x=-mn =1所以直线PQ过定点（1,0)因为|OP|＝|m|*√(m^2+1) ,|OQ|＝|n|*√(n^2+1)所以S△= (1/2)*|mn|*√[(m^2+1)(n^2+1)] = (1/2)*√(m^2+n^2 +2)≥(1/2)*√(2|mn|+2)＝1当m = 1 ,n=-1时，面积最小S△=1
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1)设 P 点坐标为 (y1^2, y1)，Q 点坐标为 (y2^2, y2)OP垂直OQ，所以 (y1^2-0)/(y1-0) = - (y2-0)/(y2^2-0)即 y1 = -1/y2y1*y2 = -1，可知道 y1 恒不等于 y2。 PQ直线的斜率K = (y1-y2)/(y1^2-y2^2) = 1/(y1+y2) = y1/(y1^2-1)PQ直线的方程Y= [y1/(y1^2-1)]*X + b以 (y1^2,y1)代入b=y1 - [y1^3/(y1^2-1)] = -y1/(y1^2-1)Y = [y1/(y1^2-1)]*X + b=[y1/(y1^2-1)]*(X -1)y1 不等于0，Y=0 时，X=1PQ所在的直线与x轴交于定点 (1,0)------------2)在抛物线上取 M(1,1) 和 N(1,-1)两点。并设点 (1,0)为 R有事情，离开了。请其他人继续做吧。够麻烦的了。