已知f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2](x不=0)(1)判断f(x)的奇偶性。(2)证明f(x)>0.
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因为g(x)=1/(2^x-1)+1/2=(2^x+1)/[2(2^x-1)]g(-x)=[2^(-x)+1]/{2[2^(-x)-1]}=(1+2^x)/[2(1-2^x)]=-g(x)所以g(x)是奇函数，又x是奇函数，故f(x)=xg(x)是偶函数。当x0时，g(x)0，所以f(x)=xg(x)0因为f(x)是偶函数，当x0所以对一切x≠0，有f(x)0.
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已知f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2](x≠0)(1)判断f(x)的奇偶性。(2)证明f(x)0. 解:(1)由已知f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2](x≠0)所以有f(-x)=-x[1/(2^(-x)-1)+1/2]=-x[2^x/(1-2^x)+1/2]=-x(2^x+1)/[2(1-2^x)]=x[1/(2^x-1)+1/2]=f(x)所以f(x)是偶函数。(2)证明:因为f(x)为偶函数，所以要证f(x)0,只需证当x0时，f(x)0即可。显然g(x)=2^x为增函数，且当x=0时g(0)=1,所以当x0时，g(x)=2^x1,显然，当x0时，f(x)0.得证。
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1)f(x)=x/2*(1+2^x)/(2^x-1)---f(-x)=-x/2*[2^(-x)+1]/[2^(-x)-1]=-x/2*[1/2^x+1]/[1/2^x-1]=-x/2*(1+2^x)/(1-2^x)=x/2*(2^x+1/(2^x-1)=f(x)所以f(x)在其定义域上是偶函数。2）当x0时,2^x1---2^x-10;& 2^x+10---x/2*(2^x+1)/(2^x-1)0---f(x)0当x0---f(-x)0,又因为f(-x)=f(x)---f(x)0综上所述，对一切x0都有f(x)0恒成立。