已知二次函数f(x)=ax^2+x.若对任意x1,x2∈R有f[(x1+x2)/2] ≤ 1/2[f(x1)+f(x2)],求实数a的取值范围；若x∈[0,1]，有|f(x)|≤1试求实数a的取值范围
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问题（1）因为：f(x)=ax^2+x所以：f[(x1+x2)/2]＝a[(x1+x2)/2]^2 + (x1+x2)/2 (1/2)[f(x1)+f(x2)]＝(1/2)[(ax1^2 + x1) + (ax2^2 + x2)]由f[(x1+x2)/2]≤(1/2)[f(x1)+f(x2)]得到：a[(x1+x2)/2]^2 + (x1+x2)/2 ≤ (1/2)[(ax1^2 + x1) + (ax2^2 + x2)]→a[(x1+x2)/2]^2 ≤ (a/2)(x1^2 + x2^2)→a(2x1x2)≤a(x1^2 + x2^2)显然对任意x1,x2∈R 有 x1^2 + x2^2 ≥ 2x1x2所以，得到当a≥0 时，不等式a(2x1x2) ≤a(x1^2 + x2^2)成立但由于题意，f(x)为二次函数，所以a不能为0，所以a的取值范围是a＞0－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－问题（2）用作图法解最快 f(x) = ax^2 + x 恒过点（0,0）讨论图像开口方向a＞0 开口向上 且x∈[0，1]时 f(x)≥ 0 所以|f(x)|=f(x) 而对称轴-1/(2a)＜0，所以 x∈[0，1] f(x)是递增的 f(1)最大 ∴f(1)≤1 ∴ a+1≤1 ∴a≤0 a＜0 开口向下 此时对称轴-1/(2a)0 因此图像最大值在x=-1/(2a)取到 分开讨论-1/(2a)的大小 如果-1/(2a)=1 得到a=-1/2 那么，x∈[0，1] f(x)是递增的，且f(x)=0 所以|f(x)|=f(x) f(1)最大 因此得：f(1)<=1 得到 a+1<=1 得到 a<=0 综合得到 -1/2≤a＜ 0 如果-1/(2a)＜1 得到 a＜-1/2 那么,x∈[0，1] f(x)在[0,-1/(2a)]上递增 [-1/(2a),1]上递减那么由|f(x)|≤1 得到： f(-1/(2a))≤1 |f(1)|≤1得到：a≤-1/4 -2≤a≤0 综合得到 -2≤a＜-1/2综合图像讨论，得到a的取值范围[-2,0）图形解题其实很直观，只是这里没有图形，所以写起来比较麻。