已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证： 一、BD1垂直与平面AB1C； 二、点B到平面ACB1的距离为BD1长度为1/3
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1:连接AC,BD,BD1,A1B,因为AC⊥BD,D1D⊥AC,所以AC⊥面BDD1,所以AC⊥BD1同理:因为AB1⊥A1B,A1D1⊥AB1,所以AB1⊥面A1D1B,所以AB1⊥BD1,而AC和AB1都包含于面AB1C,所以BD1⊥面AB1C2:设AB=1,所以AC=AB1=B1C=√2,所以S(△AB1C)=(1/2)×AB1×CB1×sin60=√3/2设B到平面ACB1的距离为d,所以V(B-AB1C)=(1/3)×d×√3/2=√3d/6而另一方面V(B-AB1C)=V(A-BB1C)=(1/3)×AB×S(△BB1C)=1/6所以√3d/6=1/6,所以d=√3/3又因为BD1=√3,所以点B到平面ACB1的距离为BD1长度的1/3
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提示第一问：做BD1到边平面的射影，则有好多个对角线XX哦，提示够了吧~~(因为射影相互垂直==AB垂直于BD1 B1C垂直于BD1(随便找两条说明即可) 一个平面上两条不平行的线都垂直于另一条线则平面垂直于这条线)主要做第二问：利用锥体体积作，锥体体积=1/3Sh B-AB1C为一锥体，因为V(B1-ABC)=1/3(a^2/2)a又因为AB1C为一等边三角形S=(√2/2)aS(AB1C)=1/2*[(√2a]^2*sin60度=(√3/2)a^2因为V(B1-ABC)=V(B-AB1C)== (a^2/2)a=h(√3/2)a^2 ==h=所求距离=(√3/3)aBD1=体对角线长度=√3a自然所求h=1/3BD1[注：里面根号2倍a之类的都把字母写在了后面]