已知实数a b c d，且a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求|ac+bd|小于等于1
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∵a^2+b^2=1,c^2+d^2=1== (a^2+b^2+c^2+d^2)/2=1∵(a-c)^2≥0 ==a^2-2ac+c^2≥0 ==a^2+c^2≥2ac同理，b^2+d^2≥2bd∴(a^2+b^2+c^2+d^2)/2≥(2ac+2bd)/2=ac+bd然后将两边同时取绝对值== 1=|(a^2+b^2+c^2+d^2)/2|≥|ac+bd|
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可以利用基本不等式由a^2+b^2=1和c^2+d^2=1可得：ab<=1/2,cd<=1/2又因为|ac+bd|≤|ac|+|bd|<=1
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已知实数a b c d，且a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求|ac+bd|小于等于1 法一：（基本不等式）|ab + cd| ≤ |ab| + |cd| = |a||b| + |c||d| ≤ (a^2 + b^2)/2 + (c^2 + d^2)/2 = 。。。 = 1 法二：（三角代换）由 a^2 + b^2 = 1 ，c^2 + d^2 = 1可设 a = cosX, b = sinX， c = cosY, d = sinY于是 |ab + bc| = |cosXcosY + sinXsinY| = |cos(X-Y)| ≤ 1法三：（柯西(Cauchy)不等式） (a^2 + b^2)*(c^2 + d^2) ≥ (ab + cd)^2 ，所以 |ab + cd| ≤ 1——附：Cauchy不等式的证明方法之一：(a^2 + b^2)*(c^2 + d^2) = a^2 c^2 + b^2 d^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2≥ a^2 c^2 + b^2 d^2 + 2(ad)(bc)= (ab + cd)^2法四：（判别式法）显然 (ax - c)^2 + (bx - d)^2 ≥ 0 对任意实数x恒成立即 (a^2 + b^2)x^2 - 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) ≥ 0 对任意实数x恒成立根据二次函数的的知识，它的判别式必须小于等于0即 [ 2(ac + bd) ]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≤ 0即 (ac + bd)^2 - 1 ≤ 0所以 |ac + bd| ≤ 1（这其实也是Cauchy不等式的另一证明方法）。。。。。。。。。。。。。。
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|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤|a^2+b^2|/2+|c^2+d^2|/2=1