a, b, c属于实数，a+b+c=1，求（1/a+1/b+1/c）的最小值。不用调和不等式请问如何证明？
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证:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥3立方根下abc*3立方根下1/abc=9,又已知 (a+b+c)=1,故有(1/a+1/b+1/c)≥9,最小值为9(在a=b=c时取得)证法二1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a +(a+b+c)/b +(a+b+c)/c =1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1 =3+b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b ≥3+2+2+2=9 在a=b=c时取得 最小值9应提问者要求补充说明如下:设b/a=x,则a/b=1/x,有x+1/X≥2√(x*1/x)=2,即b/a+a/b≥2,同理证得a/c+c/a≥2,b/c+c/b≥2至于x+1/x≥2的证明,用到a+b≥2√ab至于a+b≥2√ab,用到a平方+b平方≥2ab(左-右=(a-b)平方,左≥右。
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1/a+1/b+1/c=3(1/a*1/b*1/c)^(1/3)=3/(abc)^(1/3).....(1)a+b+c=3(abc)^3......(2)(1)*(2):(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)3/(abc)*3(abc)^(1/3)---1/a+1/b+1/c=9......(3)三个不等式都是当仅当a=b=c时不等式成立，所以最小值是9。