已知双曲线y^2-x^2/3=1.渐近线方程？过定点P(0,2)的直线l交双曲线于M、N两点，求MN的中点Q的轨迹方程
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解:渐近线方程为:y^2-x^2/3=0设M点坐标(Xm,Ym)N点坐标(Xn,Yn)。直线L: Y=KX+2。。。。。。。(1)双曲线: y^2-x^2/3=1。。。(2)解(1)(2)得:Xm=(-12K+√△)/(6K＾-2),Ym=(-4+K√△)/(6K＾-2), Xn=(-12K-√△)/(6K＾-2),Yn=(-4-K√△)/(6K＾-2),则中点Q坐标(X,Y)。X=(Xm+Xn)/2=6K/(1-3K＾)。。。。。。(3) Y=(Ym+Yn)/2=2/(1-3K＾)。。。。。。 (4)(3)/(4): X/Y=3K。。。。。。(5)又:K=(2-Y)/(0-X)=(Y-2)/X。。。。。。(6)将(6)带入(5)得:(Y-1)＾-X＾=1。即MN的中点Q的轨迹方程是个双曲线。 。
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解:(1)渐近线方程为:y1=3^(1/2)x/3y2=-3^(1/2)x/3(2)设M点坐标(Xm,Ym) N点坐标(Xn,Yn).中点坐标(X,Y). AB直线L: Y=KX+2双曲线: y^2-x^2/3=1Ym^2-Xm^2/3=1 .....(1)Yn^2-Xn^2/3=1 .....(2)(1)-(2)(Ym-Yn)(Ym+Yn)=(Xm-Xn)(Xm+Xn)/3K=(Ym-Yn)/(Xm-Xn)=(Xm+Xn)/3(Ym+Yn)=2X/3*2Y=X/3Y .....(3)(3)代入AB直线L: Y=KX+2Y=X^2/3Y+23Y^2-X^-6Y=0即MN的中点Q的轨迹方程是:3y^2-x^2-6y=0
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设中点为Q(x,y).y^2-x^2/3=1---x^2-3y^2+3=0经过点P(0,2)的直线方程是 y=kx+2.代入双曲线方程得到x^2-3(kx+2)^2+1=0---(1-3k^2)x^2-12kx-11=0---x1+x2=12/(3k^2-1)---x=(x1+x2)/2=6/(3k^2-1)因为点Q在直线上,所以y(Q)=k*6/(3k^2-1)---y/x=k.把它代入任一个参数方程,得到3y^2-x^2=6---y^2/2-x^2/6=1就是所求.