设:x+y+z=xyz,证明:x(1-y^2)(1-^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)=4xyz
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设:x+y+z=xyz,证明:x(1-y^2)(1-^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)=4xyz 解：将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证 因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z^2-y^2-y^2z^2)+y(1-z^2-x^2+x^2z^2)+(1-y^2-x^2+x^2y^2) =(x+y+z)-xz^2-xy^2+xy^2z^2-yz^2+yx^2+yx^2z^2-zy^2-zx^2+zx^2y^2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．
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设:x+y+z=xyz,证明:x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)=4xyz 因为x+y+z=xyz ，所以设x=tanα 、y=tanβ 、z=tanγ （其中α+β+γ＝π)因为2α + 2β + 2γ＝2π所以tan2α + tan2β + tan2γ ＝tan2α*tan2β*tan2γ因为tan2α = 2tana/[1-(tanα)^2] ,tan2β = 2tanβ/[1-(tanβ)^2] , tan2γ = 2tanγ/[1-(tanγ)^2]所以(2tana)/[1-(tanα)^2]+ (2tanβ)/[1-(tanβ)^2]+ (2tanγ)/[1-(tanγ)^2] ＝(2tana)/[1-(tanα)^2] * (2tanβ)/[1-(tanβ)^2]* (2tanγ)/[1-(tanγ)^2]即(2x)/(1-x^2)+(2y)/(1-y^2)+(2z)/(1-z^2)=(8xyz)/(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)所以去分母得：x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)=4xyz 。