在双曲线(X^2/13)-(Y^2/12)=-1的一支上有不同的三点A(X1,Y1),B(X2,6),C(X3,Y3),与焦点F(0,5)的距离成等差数列.(1) 求Y1+Y3的值:(2) 求证:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求出定点的坐标.
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在双曲线(X^2/13)-(Y^2/12)=-1的一支上有不同的三点A(X1,Y1),B(X2,6),C(X3,Y3),与焦点F(0,5)的距离成等差数列。(1) 求Y1+Y3的值:(2) 求证:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求出定点的坐标。因为双曲线为：y^2/12 - x^2/13 = 1 ,所以a^2=12 、b^2=13 、c=5因为e= c/a ,准线为：y=a^2/c 所以由第二定义得：FA/|y1-a^2/c| = e所以FA＝e*y1-a ,同理 FB=e*y2-a ,FC=e*y3 -a 因为 2*FB=FA+FC所以2*(e*y2-a)= e*y1 -a +e*y3-a ,解得：y1+y3 = 2*y2 =12设x1+x3=2a ,则AC的中点为：(a ,6)因为12x^2=13y^2 -156 所以12*(x1+x3)(x1-x3) = 13(y1+y3)(y1-t3) （两式相减）即(y1-y3)/(x1-x3) = 2a/13所以AC的垂直平分线为：y= -(13/2a)*(x-a) + 6 ＝-13x/2a + 25/2所以AC的垂直平分线过定点（0 ,25/2)。