在已知圆C：X^2+（Y—5）^2=16，在X轴上有两点M、N，使MN为直径的圆与圆C外切，若点A对所有满足条件的M、N，使∠ MAN为定角，试求定点A的坐标及定角∠MAN的大小。
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分析：由条件先找出以MN为直径的圆的圆心与半径之间的数量关系，继而发现以MN为直径的圆必成对关于y轴对称，所以定点必在y轴上且上、下方均有可能，再从两个特殊的动圆入手，猜出定点坐标和定角大小，最后作一般性证明。 解：设以MN为直径的圆的圆心P（a，0），半径为r ∵动圆与定圆相切ΙCPΙ=4+r,即√a^2+5^2=4+r得r=√a^2+25-4,圆P方程为(x-a)^2+y^2=[(√a^2+25)-4]^2取a=0。得⊙P为x^2+y^2=1,M(-1,0),N(1,0)取a=12。得⊙P为:(x-12)^2+y^2=9^2,M(3,0),N(21,0)因为以MN为直径的圆必成对关于y轴对称，所以设定点A（0，b）当a=0时。tan∠MAN=2ΙbΙ/Ιb^2Ι-1当a=12时。tan∠MAN=18ΙbΙ/63+b^2由18ΙbΙ/63+b^2=2ΙbΙ/Ιb^2Ι-1,解得b=±3。∴tan∠MAN=3/4∴∠MAN=arctan3/4以下作一般性证明：设圆心p(a,o)半径(√a^2-25)-4,M[a-4-(√a^2+25),0],N[a-4+(√a^2+25),0],取A（0，-3）时，MA斜率K1=tanα=3/a+4-(√a^2+25)MA斜率K2=tanβ=3/a+(√a^2+25)-4tan∠MAN=tan(α-β)=tanα-tanβ/1+tanα*tanβ=3/4当A（0，3）时同理可得故定点A坐标为(0,±3)，定角∠MAN=arctan3/4。
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A(0,3)或A(0,-3)∠MAN=arccos0.8