已知过点A(4,0) 且斜率为k的直线l与圆x^2+y^2=4相交于c,d.(1) 求证 |ac|*|ad|为定值（2）求弦cd中点m的轨迹方程
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已知过点A(4,0) 且斜率为k的直线l与圆x^2+y^2=4相交于C,D.(1) 求证 |AC|*|AD|为定值 ,（2）求弦CD中点M的轨迹方程(1).设直线L与圆相切于G ，因为OA＝4 ，OG＝2 ，所以AG＝2√3根据切割线定理：|AC|*|AD|＝AG^2所以|AC|*|AD|＝ 12 为定值(2).连结OM ，则OM⊥CD于M 所以M在以OA为直径的圆上：x^2 + (y-2)^2 =4下面求X的范围：当y=kx+4与x^2+y^2=4相切时，圆心到直线的距离等于半径过G作GF⊥OA于F ，由射影定理得：OG^2 = OF*OA所以 4 = OF * 4 ,即OF=1 所以FG＝√(OG^2-OF^2) = √((4-1)=√3所以-√3≤x≤√3以上主要用初中知识求解。
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(1) 从几何关系上，容易得到：|ac|*|ad| = 定值。亦可用解析法证明：过点A(4,0)直线L：y=k(x-4) 。。。(1)，圆x^2+y^2=4 。。。(2)代入，得：(1+k^2)x^2 -8xk^2 +(16k^2 -4)=0 。。。(3)交点C(x1,y1),D(x2,y2)|ac|*|ad| = genhao[(x1-4)^2+y1^2]*genhao[(x2-4)^2+y2^2]= genhao[(x1-4)^2+(kx1-4k)^2]*genhao[(x2-4)^2+(kx2-4k)^2]= (1+k^2)*|(x1-4)(x2-4)| = (1+k^2)*|x1x2-4(x1+x2)+16|= (1+k^2)*|(16k^2 -4)/(1+k^2) -4*(8k^2)/(1+k^2) +16|= 12 = 定值。(2) 弦cd中点m(x,y)x= (x1+x2)/2y = k(x-4) 。。(4)=== x = [8k^2/(1+k^2)]/2 = 4k^2/(1+k^2) 。。。(5)(4)(5)消去k，得：x^2 +y^2 -4x = 0所求的轨迹方程，为圆 x^2 +y^2 -4x = 0的 x<= 1的部分。