把分式方程转换为一元一次方程时,有些时候可能会得出一个增根,这个解如果带入方程,会使分母得零。但是怎样在不转换以前就知道这个分式方程是不是有增根,增根是多少?小弟无意间发现一个规律,请各位帮我解释和证实。解方程[(x-6)/(x-7)]+[1/(7-x)]=8解:[(x-6)/(x-7)]-[1/(x-7)]=8约分得(x-6-1)/(x-7)=8整理得(x-7)/(x-7)=8晕,再约1=8大家发现本来相等的等式,出现了1=8的结果,如果分式方程解完后出现这种不成立得等式就可以确定是有增根的分式方程了。移项0=7这时7就是这个分式方程的增根,移项时要遵守小往大移的原则。下面我们用正常方法证实一下解方程[(x-6)/(x-7)]+[1/(7-x)]=8解:[(x-6)/(x-7)]-[1/(x-7)]=8约分得(x-6-1)/(x-7)=8整理得(x-7)/(x-7)=8两边都乘(x-7),整理后得:x-7=8x-56再整理:-7x=-49x=7与前一样,但是由于题数有限,无法证明是否对所有有实根的分式成立,请各位帮忙证实和证明其原因,谢谢!
热心网友
设g(x)/f(x)=a……⑴是一个分式方程,去分母以后得到:g(x)=af(x)……⑵方程⑵与方程⑴不一定是同解的方程,那么怎么会产生增根呢?设b是f(x)的根,即f(b)=0,如果b也是g(x)的根,即g(b)=0,则显然b是方程⑵的根,但b一定不是方程⑴的根,因为当x=b时,方程⑴的没有意义的,这样x=b就是增根了。如果b是f(x)的根,但b不是g(x)的根,则方程⑵就是与方程⑴同解的方程,去分母并没有产生增根。所以你想法是正确的,如果一个分式方程化为了方程⑴那样的简单形式,则当左边是“0/0”(念作0比0型,不是0除以0的意思),就会产生增根,不是这种形式就不会产生增根。关于“0/0”型在高等数学里会有深入的研究。但是在具体求解分式方程的时候,还是采用中学教材里介绍的方法,即先解出方程,再检验一下更方便些。