已知x>0,y>0,且x+y=1。求证[1+（1/x的平方）]*[1+（1/y的平方）]≥25
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晕，楼上证出 左边≥16 ？x+y=1≥2√(xy) →xy≤(1/2)^2=1/4[1+(1/x^2)]*[1+(1/y^2)]≥25=[(x^2+1)/x^2][(y^2+1)/y^2]=[(x^2+1)(y^2+1)/x^2*y^2=(x^2*y^2+x^2+y^2+1)/x^2*y^2=1+[(x^2+y^2+1)/x^2*y^2]≥1+[(2xy+1)/(xy)^2]=1+[1+(1/2)]/(1/4)^2=1+[(3/2)]/(1/16)]=1+24=25
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[1+(1/x)^2]*[1+(1/y)^2] =1+(1/x)^2+(1/y)^2+(1/x)^2*(1/y)^2 =1+2/xy+(1/xy)^2 =(1+1/xy)^2由于x+y=1,故1/xy=4 于是(1+1/xy)^2=(1+4)^2=25
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由x+y=1,得√xy≤x+y/2=1/2,xy≤1/4,原式左边=1+1/x平方+1/y平方+1/x平方y平方 ≥1+2*(1/xy)+1/(xy)平方 ≥1+8+16 =25