命题(*):设a,b,c是非负实数,如果a的4次+b的4次+c的4次小于等于2*(a方*b方+b方*c方+c方*a方),则a方+b方+c方小于等于2(ab+bc+ca)1.证明命题(*)是正确的2.试写出命题(*)的逆命题,并判断写出的逆命题是否是真命题,为什么?
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1.如果a^4+b^4+c^4≤2*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2),(a^2+b^2-c^2)^2≤4a^2*b^2|a^2+b^2-c^2|≤2ab==a^2+b^2-c^2≤|a^2+b^2-c^2|≤2ab同理a^2+c^2-b^2≤2ac,b^2+c^2-c^2≤2bc3式相加得a^2+b^2+c^2≤2*(ab+bc+ca)。2。命题(*)的逆命题为：如果a^2+b^2+c^2≤2*(ab+bc+ca)，则a^4+b^4+c^4≤2*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)。逆命题不成立，如：b=c=1，a=3==》11≤14。但 83=1+1+812(9+1+9)=38.
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证：(1)设 m=a^2,n=b^2,s=c^2因为，a、b、c为非负实数，所以，m、n、s也为非负实数，代入已知条件得，m^2+n^2+s^2≤2（mn+ns+ms）通常表达为，a^2+b^2+c^2≤2（ab+bc+ac）(2)逆命题：a、b、c为非负实数，a^2+b^2+c^2≤2（ab+bc+ac），则a^4+b^4+c^4≤2（a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2）判断：逆命题为真。因为，a、b、c为非负实数，所以，a^2、b^2、c^2、a^4等也为非负实数。【注】因为，a^4+b^4+c^4＝(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)≥0所以，要使已知条件成立，须a=b=c=0，在此情况下，正、逆命题都成立。