1.用求商比较法证明下列不等式.已知:a>b>c>0,求证:(a^a)*(b^b)*(c^c)>(abc)^[(a+b+c)/3]2.a>0,b>0,c>0,d>0,求证:1<[a/(a+b+d]+[b/(b+c+a)]+[c/(c+d+b)]+[d/(d+a+c)]<23.已知a、b、c∈R，求证：a^4+b^4+c^4≥a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2≥abc(a+b+c)
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1)作商:[(a^a)(b^b)(c^c)]^3/(abc)^(a+b+c)=a^(3a)*b^(3b)*c^(3c)/[(a^a*a^b^*a^c)*(b^a*b^b*b^c)(c^a*c^b*c^c)]=[a^(3a)/((a^a*b^a*c^a)]*[。。。。。。。。。。。。=(a^2/bc)^a*(b^2/ca)^b*(c^2/ca)^c,(abc0)(a^2/bc)^c*(b^2/ca)^c*(c^2/ab)^c=[(a^2*b^2*c*2/(a^2*b^2*c^2)]^c=1---[(a^a)(b^b)(c^c)]^3(abc)^(a+b+c)---(a^a)(b^b)c^c)[(abc)^(a+b+c)]^1/3---(a^a)(b^b)(c^c)(abc)^[(a+b+c)/3}2)预备知识使用"放缩法":00---x/(y+m)a/(a+b+c+d)1=2a^2*b*2; d^4+c^4=2b^2*c^2; c^4+a^4=2c^2*a^2---2(a^4+b^4+c^4=2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)---a^4+b^4+c^4=a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2a^2*b^2+b^2*c^2=2(ab)(bc)=2abc*b同理b^2*c^2+c^2*a^2=2abc*c; c^2*a^2+a^2*b^2=2abc*a三式相加得到a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2=abc(a+b+c) 已经约去因数2。综合两式,就得到原不等式。。
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1. [(a^a)*(b^b)*(c^c)]^3/[(abc)^(a+b+c)]= (a^2/bc)^a *(b^2/ca)^b *(c^2/ab)^c (a^2/bc)^c *(b^2/ca)^c *(c^2/ab)^c =1== [(a^a)*(b^b)*(c^c)]^3 (abc)^(a+b+c)== (a^a)*(b^b)*(c^c) (abc)^[(a+b+c)/3]
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有些困难。